RENTAS

 

CONTENIDOS

Las rentas (Definición).Cuota. Momento de iniciación. Momento de finalización. Valuación de una renta. Momento de valuación. Clasificación de las rentas

Las rentas temporarias ciertas a interés compuesto anticipadas con cuotas constantes. Diferencia de tiempo. Renta anticipada con valuación en la finalización (t=n). Imposición vencida (Fórmula principal). Fórmulas derivadas. Imposición adelantada (fórmula principal). Fórmulas derivadas. Renta anticipada con valuación antes de la finalización (t<n). Diferencia de tiempo. Renta anticipada vencida con t<n (Fórmula principal). Fórmulas derivadas. Renta anticipada adelantada con t<n (Fórmula principal). Fórmulas derivadas. Renta anticipada con valuación posterior a la finalización (t>n). La diferencia de tiempo. Renta anticipada vencida con t>n (Fórmula principal). Fórmulas derivadas. Renta anticipada adelantada con t>n (Fórmula principal). Fórmulas derivadas. Rentas ciertas perpetuas anticipadas. Diferencia de tiempo. La renta perpetua anticipada vencida (Fórmula principal). Fórmulas derivadas. La renta perpetua anticipada adelantada (Fórmula principal). Fórmulas derivadas.

La renta cierta inmediata o amortización. La amortización vencida (Fórmula principal). Fórmulas derivadas. La amortización adelantada (Fórmula principal). Fórmulas derivadas. La renta perpetua inmediata. La renta perpetua inmediata vencida (Fórmula principal). Fórmulas derivadas. La renta perpetua inmediata adelantada (Fórmula principal). Fórmulas derivadas

Las rentas ciertas temporarias diferidas. Diferencia de tiempo. Renta diferida vencida (Fórmula principal). Fórmulas derivadas. Renta diferida adelantada (Fórmula principal). Fórmulas derivadas. Las rentas ciertas perpetuas diferidas. Diferencia de tiempo. La renta perpetua diferida vencida (Fórmula principal). Fórmulas derivadas. La renta perpetua diferida adelantada (Fórmula principal). Fórmulas derivadas.

 

LAS RENTAS

 

RENTA (Definición)

Se llama renta a toda sucesión de capitales financieros que tienen la finalidad de formar un capital futuro, cancelar una deuda, etc.

 

          Así por ejemplo son rentas las siguientes sucesiones de capitales financieros:

 

Þ       Una serie de capitales financieros depositados con el objeto de formar un capital futuro (cuenta de ahorro).

Þ       Una serie de sumas de pagos con la finalidad de cancelar una deuda (préstamo).

Þ       Una serie de pagos en forma periódica para abonar un bien por haberlo comprado en forma financiada.

Þ       Las sucesiones de pagos de un seguro de vida.

 

CUOTA (Definición)

Cada uno de los términos que integran la sucesión capitales financieros se llama cuota. Esto significa que si formamos un capital en una caja de ahorro, cada uno de los depósitos se llama cuota y si compramos un bien a crédito u obtenemos un préstamo, cada uno de los pagos periódicos se llama cuota.-

 

          Teniendo en cuenta las características de las cuotas, estas se pueden clasificar en:

 

a)     Según su valuación: Las cuotas se pueden valuar siguiendo una ley simple o siguiendo una ley compuesta.

b)    Según su valor: constantes si todas son del mismo valor, caso contrario se dice que son variables.

c)     Según su época de pago: vencidas, si se pagan al final de cada período; y adelantadas, si se pagan al inicio de los mismos.

 

 

MOMENTO DE INICIACIÓN (Concepto)

El momento de iniciación de una renta, es el momento en el tiempo en el que se da inicio a la sucesión de capitales financieros, o sea la época en la que se paga o se deposita la primera cuota.

 

 

MOMENTO DE FINALIZACIÓN (Concepto)

El momento de finalización de una renta, es el momento en el tiempo que se da por finalizado la sucesión de capitales financieros, o sea la época en la que se paga o se deposita la última cuota.

 

 

VALUACIÓN DE UNA RENTA (Concepto)

Todas las cuotas que forman la sucesión de capitales financieros, deben tomar un valor general en algún momento en el tiempo. Este valor se llama “valuación de la renta” y dicha valuación depende del objetivo que tenga la renta.

 

          Por ejemplo si las cuotas que se pagan son para cancelar una deuda, la valuación de la renta es al inicio de la misma, ya que de antemano sabemos el total que debemos.

          Si por el contrario, las cuotas que se depositan son para formar un capital, por supuesto que el valor de la renta será al final de la operación, o sea cuando deposite la última cuota y se conozcan los intereses ganados.

 

MOMENTO DE VALUACIÓN (Concepto)

El momento de valuación es el momento en el tiempo en que se valúa una renta.

 

 

 

CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS

 

          Para poder estudiar las rentas o sucesiones de capitales financieros, y debido a su diversidad de funciones, se las puede clasificar en:

 

En función de la duración

a.     Temporarias: Una renta se dice que es temporaria si su duración es limitada, o sea que se considera que el número de períodos es fijo.

b.    Perpetuas: Una renta se dice que es perpetua si su duración es ilimitada, o sea que se considera que el número de períodos tiende al infinito.

 

En función de su condicionamiento

a.     Cierta: Una renta se dice que es cierta si su duración no está subordinada a algún acontecimiento. Estas rentas son las más comunes, como por ejemplo los préstamos, las compras financiadas, los ahorros en cuotas, etc.

b.    Incierta: Una renta se dice que es incierta cuando su duración depende de algún acontecimiento, como por ejemplo un seguro de vida, un sistema de ahorro y préstamos, etc.

 

En función de las cuotas

a.     Constantes: Si las cuotas no varían.

b.    Variables: Si las cuotas varían.

c.     Vencidas: Si las cuotas se pagan o se depositan al finan de cada período.

d.    Adelantadas: Si las cuotas se pagan o se depositan al inicio de cada período.

 

En función de su capitalización

a.     A Interés simple: valuadas con un régimen de ley simple.

b.    A Interés compuesto: valuada con un régimen de ley compuesta.

 

En función de su valuación

a.     Anticipadas: Una renta se dice que es anticipada cuando el momento de iniciación es anterior a la valuación de la misma.

b.    Inmediatas: Una renta se dice que es inmediata cuando la valuación de la misma coincide con el momento de iniciación.

c.     Diferidas: Una renta se dice que es diferida cuando el momento de iniciación es posterior a la valuación de la renta.

 

  

 

NOTA

Las rentas que se estudiarán en este libro son las RENTAS CIERTAS A INTERÉS COMPUESTO, TEMPORARIAS O PERPÉTUAS, dentro de ellas LAS INMEDIATAS, DIFERIDAS Y ANTICIPADAS.

 

 

LAS RENTAS TEMPORARIAS CIERTAS A INTERÉS COMPUESTO ANTICIPADAS CON CUOTAS CONSTANTES

 

          Como por definición, son aquellas en donde la iniciación de la misma es anterior a la época de valuación.

          Ahora, ésta renta se la debe estudiar con respecto a la diferencia de tiempo entre la valuación y la finalización de la misma.

 

DIFERENCIA DE TIEMPO (Definición)

En la renta anticipada, se llama diferencia de tiempo a los períodos existentes entre la época de valuación y la finalización de la renta y se la representa con la “t”.

 

LA ÉPOCA DE VALUACIÓN COINCIDE CON LA FINALIZACIÓN DE LA RENTA

(t = n)

 

          En este caso, justo en la finalización de la renta se valúan la sucesión de capitales financieros, esto se explica con el siguiente gráfico:

 

  

        Toda renta donde la sucesión de capitales financieros donde la valuación coincide con el momento de finalización, se llama IMPOSICIÓN o valor final de la renta.

          En esta renta, la sucesión de capitales financieros se capitalizan, o sea que en cada período se genera un monto cuyo capital inicial es la cuota (C), o sea:

 

 

IMPOSICIÓN VENCIDA

 

          Como se sabe, toda renta donde las cuotas se abonan o se depositan al final de cada período, se dice que es vencida.

          Ahora, cada capital financiero es un monto donde por cada período se capitaliza la cuota. Para explicar correctamente y deducir la fórmula de la imposición vencida, hacemos el siguiente gráfico:

 

 

 

Observamos que para el primer período, la cuota  que se paga al final del mismo y se capitaliza por los “n” períodos restantes hasta la valuación, o sea:

 

 

Para el final del segundo período, la cuota se capitaliza por n-1 períodos, entonces el monto es:

 

 

          Para el final del tercer período, la cuota se capitaliza para n-2 períodos, entonces el monto es:

 

 

          Cuando llegamos al final del período n-2, observamos que la cuota se capitaliza por dos períodos más, o sea que el monto es:

 

 

          Por supuesto, para el final del período n-1, la cuota se capitaliza por un solo período, entonces el monto es:

 

 

          Y cuando llegamos al final del último período, la cuota no tiene tiempo para capitalizarse, o sea que el monto es:

 

          Ahora, la suma de todos estos capitales financieros constituyen la renta o la Imposición que la denotamos con S(C,n.i) (imposición vencida de cuota C, períodos n y tasa i), o sea:

 

 

          Que es lo mismo, aplicando la propiedad conmutativa de la adición:

 

          Reemplazando por las expresiones anteriormente determinadas, queda:

 

 

Sacando factor común la cuota, se tiene:

 

 

          Pero como 1+i>0 entonces la progresión formada con los términos de la serie que está en el corchete es creciente y como cada uno de los términos difiere del anterior en una cantidad igual a 1+i (razón de la serie o de la progresión), entonces ésta es una progresión geométrica creciente.

          Ahora, en toda progresión geométrica creciente de “n” elementos, donde “a1” es el primer término y “q” es la razón, su suma está dada por:

 

 

 

          Entonces para nuestra serie, el primer término es 1 y reemplazando queda:

 

          Y cancelando se llega a la fórmula para calcular la imposición vencida de cuota constante:

 

 

          Por ejemplo:

          Una persona deposita al finalizar cada bimestre $386,20 durante 3 años ¿Cuál el total de dinero obtenido si se le aplicó el 25% anual de interés?

 

Datos

Capitalización: bimestral y compuesta

C=$386,20 bimestral y vencida

R=25% anual Þ R=25%:6 bimestral Þ R=4,16% bimestral Þ i=0,0416

T=3 años Þ n=3x6 bimestres Þ n=18

 

Incógnita

S(C,n,i)=?

 

Calculamos la imposición vencida usando la fórmula últimamente demostrada:

 

 

FÓRMULAS DERIVADAS DE LA IMPOSICIÓN VENCIDA

 

 

          Para obtener las fórmulas derivadas de la imposición vencida, basta con despejarlas de la fórmula principal para su cálculo.

 

LA CUOTA VENCIDA EN LA IMPOSICIÓN

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Despejando la cuota, queda:

 

 

          Por ejemplo:

          Una persona quiere formar un capital de $7.530 y para ello elige una entidad financiera que otorga el 30% anual de interés y de acuerdo a sus cálculos, dichos depósitos los debe hacer por un año y medio ¿Cuál es el valor de la cuota vencida que debe depositar esta persona?

 


 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

S(C,n,i)=$7.530

R=30% anual Þ R=30%:12 mensual Þ R=2,5% mensual Þ i=0,025

T=1,5 años Þ n=1,5x12 Þ n=18

Incógnita

C=? vencida

 

Para calcular la cuota vencida de la imposición, usamos la fórmula que se demostró últimamente:

 

 

 

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA IMPOSICIÓN VENCIDA

 

          Si partimos de la fórmula principal:

 

 

          Pasamos la cuota y la tasa del denominador al primer miembro:

 

 

          Pasamos el -1 al primer miembro y sacamos común denominador y queda:

 

 

          Tomamos logaritmo en ambos miembros y se tiene:

 

 

          Aplicando las propiedades de los logaritmos, tenemos:

 

 

          Ahora despejamos el número de períodos y se llega a la fórmula deseada:

 

 

          Por ejemplo:

          ¿Cuántos meses se debe depositar al final de los mismos $250,60 para reunir un capital de $10.289,44 sabiendo que la entidad financiera otorga el 25% anual de interés?

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

C=$250,60 vencida

S(C,n,i)=$10.289,44

R=25% anual Þ R=25%:12 mensual Þ R=2,08% mensual Þ i=0,0208

 

Incógnita

n=?

 

 

Para calcular los períodos hacemos:

 

Calculando, queda:

 

 

Lo que significa que 29 cuotas serán de $250,60; y una más que se la calcula haciendo el siguiente razonamiento:

 

Donde:

 

 

IMPOSICIÓN ADELANTADA

 

          Para la imposición vencida nosotros hemos visto que las cuotas se depositan al final de cada período. Ahora en la imposición adelantada estudiaremos el caso en el que las cuotas se depositan al inicio de cada período.

          Como se sabe, cada capital financiero es un monto cuyo capital inicial es la cuota que se capitaliza por los períodos según sea el período de la cuota. Para ello haremos el siguiente gráfico:

 

 

 

          Al inicio del primer período, la cuota se capitaliza por “n” períodos, por lo tanto el monto es:

 

 

          Al inicio del segundo período, la cuota se capitaliza por “n-1” períodos, por lo tanto el monto es:

 

 

          Al inicio del tercer período, la cuota se capitaliza por “n-2” períodos, por lo tanto el monto es:

 

 

          Al inicio del cuarto período, la cuota se capitaliza por “n-3” períodos, por lo tanto el monto es:

 

 

          Y así llegamos al inicio del penúltimo período, donde la cuota se capitaliza por dos períodos y el monto es:

 

 

          Hasta llegar al último período, donde la cuota todavía se capitaliza por un solo período y el monto es:

 

 

          Ahora, la suma de todos estos capitales financieros constituyen la renta o la Imposición que la denotamos con S’(C,n.i) (imposición adelantada de cuota C, períodos n y tasa i), o sea:

 

 

          Que es lo mismo aplicando la propiedad conmutativa de la adición:

 

 

          Reemplazando por las expresiones anteriormente determinadas, queda:

 

 

Y sacando factor común la cuota, queda:

 

 

          Pero como 1+i>0 entonces la progresión formada con los términos de la serie que está en el corchete es creciente y como cada uno de los términos difiere del anterior en una cantidad igual a 1+i (razón de la serie o de la progresión), entonces ésta es una progresión geométrica creciente.

          Ahora, en toda progresión geométrica creciente de “n” elementos, donde “a1” es el primer término y “q” es la razón, su suma está dada por:

 

 

          Entonces para nuestra serie, el primer término es (1+i) y reemplazando queda:

 

 

          Y cancelando se llega a la fórmula para calcular la imposición vencida de cuota constante:

 

 

          Si comparamos las fórmulas de la imposición vencida y adelantada, observamos que la segunda tiene una capitalización más y esto es debido a que se adelanta el pago de la cuota un período.-

          Por ejemplo:

          Una persona deposita al inicio de cada bimestre $386,20 durante 3 años ¿Cuál el total de dinero obtenido si se le aplicó el 25% anual de interés?

 

Datos

Capitalización: bimestral y compuesta

C=$386,20 bimestral y adelantada

R=25% anual Þ R=25%:6 bimestral Þ R=4,16% bimestral Þ i=0,0416

T=3 años Þ n=3x6 bimestres Þ n=18

Incógnita

S’(C,n,i)=?

 

Calculamos la imposición vencida usando la fórmula últimamente demostrada:

 

 

O sea:

 

FÓRMULAS DERIVADAS DE LA IMPOSICIÓN ADELANTADA

 

          Para obtener las fórmulas derivadas de la imposición adelantada, basta con despejarlas de la fórmula principal para su cálculo.

 

LA CUOTA ADELANTADA EN LA IMPOSICIÓN

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Despejando la cuota, queda:

 

 

 

 

          Por ejemplo:

          Una persona quiere formar un capital de $7.530 y para ello elige una entidad financiera que otorga el 30% anual de interés y de acuerdo a sus cálculos, dichos depósitos los debe hacer por un año y medio ¿Cuál es el valor de la cuota adelantada que debe depositar esta persona?

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

S’(C,n,i)=$7.530

R=30% anual Þ R=30%:12 mensual Þ R=2,5% mensual Þ i=0,025

T=1,5 años Þ n=1,5x12 Þ n=18

 

Incógnita

C=? adelantada

Para calcular la cuota adelantada de la imposición, usamos la fórmula que se demostró últimamente:

 

 

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA IMPOSICIÓN ADELANTADA

 

          Si partimos de la fórmula principal:

 

 

          Pasamos la cuota, 1+i y la tasa del denominador al primer miembro:

 

 

          Pasamos el -1 al primer miembro y sacamos común denominador, queda:

 

 

          Tomamos logaritmo en ambos miembros, se tiene:

 

 

          Aplicando las propiedades de los logaritmos, tenemos:

 

 

          Ahora despejamos el número de períodos y se llega a la fórmula deseada:

 

 

          Por ejemplo:

          ¿Cuántos meses se debe depositar al inicio de los mismos $250,60 para reunir un capital de $10.289,44 sabiendo que la entidad financiera otorga el 25% anual de interés?

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

C=$250,60 adelantada

S’(C,n,i)=$10.289,44

R=25% anual Þ R=25%:12 mensual Þ R=2,08% mensual Þ i=0,0208

 

Incógnita

n=?

 

Para calcular los períodos hacemos:

 

 

Reemplazando por sus valores, se tiene:

 

Lo que significa que:

 

 

RENTAS CIERTAS TEMPORARIAS ANTICIPADAS CON VALUACIÓN ANTES DE LA ÉPOCA DE FINALIZACIÓN DE LOS PAGOS (t<n)

 

           Por definición, las rentas anticipadas, son aquellas en donde la iniciación de las mismas es anterior a la época de valuación.

          Ahora, esta renta se la debe estudiar con respecto a la diferencia de tiempo entre la valuación y la finalización de la renta.

 

DIFERENCIA DE TIEMPO (Definición)

En la renta anticipada, se llama diferencia de tiempo a los períodos existentes entre la época de valuación y la finalización de la renta y se la representa con la “t”.

 

          En este caso en particular, la valuación es anterior a la época de finalización de la renta y para estudiarla podemos hacer el siguiente diagrama:

 

 

          Esto significa que durante los “n” períodos se realizan depósitos hasta que finaliza la renta (hasta allí es una imposición), luego hay “t” períodos donde esta imposición se actualiza hasta llegar a la época de valuación. Teniendo en cuenta este razonamiento se pueden obtener las fórmulas para la renta anticipada con valuación anterior a la época de finalización.

 

RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON VALUACIÓN ANTES DE LA ÉPOCA DE FINALIZACIÓN DE PAGOS (t<n)

 

          De acuerdo al razonamiento realizado anteriormente, durante los “n” períodos se forma una imposición y que en este caso es vencida. Luego esa imposición se actualiza por “t” períodos, lo que significa matemáticamente que:

 

          Reemplazando por la fórmula de la imposición, se tiene la de la renta temporaria vencida con valuación antes de la época de finalización:

 

          Que es lo mismo que:

 

 

 

         Donde S(C,n,i,-t) es la renta temporaria anticipada vencida con cuota “C”, tasa “i”, “n” períodos, valuada “t” períodos antes de la finalización de la misma.

 

          Por ejemplo

          Se realizan 11depósitos de $150 al final de cada mes con el 25% anual de interés y se quiere saber cuál será la renta de las 11 cuotas  en la cuota 8.

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

C=$150 vencida

R=25% anual Þ R=25%:12 mensual Þ R=2,08% mensual Þ i=0,0208

T=11 meses Þ n=11

t=3 (ya que 11 – 8 =3)

 

Incógnita

S(C,n,i,-t)=?

 

Para calcular esta renta hacemos:

 

 

Y resolviendo, se tiene:

 

 

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON VALUACIÓN ANTES DE LA FINALIZACIÓN DE PAGOS (t<n)

 

          Para obtener las fórmulas derivadas de la renta temporaria anticipada vencida con valuación antes de la finalización de la misma, se debe tener en cuenta la fórmula principal, o sea:

        ó         

 

 

LA CUOTA VENCIDA EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA CON t<n

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Pasando factores y divisores y obtenemos la fórmula para calcular la cuota:

 

 

 

 

         

Por ejemplo:

          Durante 14 meses se hicieron depósitos vencidos en una entidad financiera. Faltando 4 meses para el último depósito, se obtiene una renta de $2.300,55. ¿Cuál será el valor de cada depósito si la entidad financiera otorga el 5% cuatrimestral de interés?

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

T=14 meses Þ n=14

t=4

S(C,n,i,-t)=$2.300,55

R=5% cuatrimestral Þ R=5%:4 mensual Þ R=1,25% mensual Þ i=0,0125

 

Incógnita

C=?

 

Calculamos la cuota vencida de esta renta de la siguiente forma:

 

 

Resolviendo obtenemos el valor de dicha cuota:

 

 

EL NÚMERO EN LA PERÍODOS DE LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON t<n

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Pasamos al primer miembro la cuota, la tasa, la potencia “t” del binomio 1+i, se tiene:

 

 

          Pasando el -1 y sacando común denominador, queda:

 

 

          Ahora tomamos logaritmo en ambos miembros, o sea:

 

 

          Aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

 

 

 

 

          Y despejando el número de períodos se obtiene la fórmula deseada:

 

 

 

          Por ejemplo:

          ¿Durante qué tiempo se deben hacer los depósitos vencidos de $158,45 para que faltando 3 meses se obtenga una renta de $1.895,52; sabiendo que el banco otorga el 6% cuatrimestral de interés?

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

C=$158,45 vencida

t=3 meses

S(C,n,i,-t)=$1.895,52

R=6% cuatrimestral Þ R=6%:4 mensual Þ R=1,5% mensual Þ i=0,015

 

Incógnita

n=?

 

Calculamos el número de períodos usando la fórmula demostrada últimamente, o sea:

 

 

Reemplazando, queda:

 

 

Resolviendo, se tiene la respuesta:

 

 

Esto significa que 11 cuotas que se pagan son de $158,45 y una más de:

 

 

 

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON t<n

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Pasamos la potencia “t” del binomio 1+i al primer miembro y la renta al segundo, o sea:

 

 

          Ahora tomamos logaritmos en ambos miembros, queda:

 

 

 

          Aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

 

         

Despejando la diferencia de tiempo se llega a la fórmula deseada:

 

 

 

          Por ejemplo:

          Se desea saber qué tiempo antes de la última cuota bimestral vencida de $255,30 se debe valuar la renta para obtener $3.600; sabiendo que la institución financiera otorga el 24% anual de interés si los depósitos se hacen durante 2 años.

 

Datos

Capitalización: bimestral  y compuesta

C=$255,30 vencida

S(C,n,i,-t)=$3.600

T=2 años Þ n=2x6 bimestres Þ n=12 bimestres

R=24% anual Þ R=24%:6 bimestral Þ R=4% bimestral Þ i=0,04

 

Incógnita

t=?

 

Calculamos la diferencia de tiempo con:

 

 

Reemplazando, queda:

 

 

Resolviendo, se tiene:

 

 

 

 

 

RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON VALUACIÓN ANTES DE LA ÉPOCA DE FINALIZACIÓN DE PAGOS (t<n)

 

          De acuerdo al razonamiento realizado anteriormente, durante los “n” períodos se forma una imposición y que en este caso es adelantada. Luego esa imposición se actualiza por “t” períodos, lo que significa matemáticamente que:

 

 

          Reemplazando por la fórmula de la imposición, se tiene la de la renta temporaria adelantada con valuación antes de la época de finalización:

 

 

          Que es lo mismo que:

 

 

 

          Donde S’(C,n,i,-t) es la renta temporaria anticipada adelantada con cuota “C”, tasa “i”, “n” períodos, valuada en “t” períodos antes de la finalización de la misma.

 

          Por ejemplo

          Se realizan 11 depósitos de $150 al inicio de cada mes con el 25% anual de interés y se quiere saber cuál será la renta de las 11 cuotas  en la cuota 8.

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

C=$150 adelantada

R=25% anual Þ R=25%:12 mensual Þ R=2,08% mensual Þ i=0,0208

T=11 meses Þ n=11

t=3 (ya que 11 – 8 =3)

 

Incógnita

S’(C,n,i,-t)=?

 

Para calcular esta renta hacemos:

 

 

 

Y resolviendo, se tiene:

 

 

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON VALUACIÓN ANTES DE LA FINALIZACIÓN DE PAGOS (t<n)

 

          Para obtener las fórmulas derivadas de la renta temporaria anticipada adelantada con valuación antes de la finalización de la misma, se debe tener en cuenta la fórmula principal, o sea:

 

    ó     

 

 

LA CUOTA ADELANTADA EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA CON t<n

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

 

 

 

          Pasando factores y divisores y obtenemos la fórmula para calcular la cuota:

 

 

 

          Por ejemplo:

          Durante 14 meses se hicieron depósitos adelantados en una entidad financiera. Faltando 4 meses para el último depósito, se obtiene una renta de $2.300,55. ¿Cuál será el valor de cada depósito si la entidad financiera otorga el 5% cuatrimestral de interés?

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

T=14 meses Þ n=14

t=4

S’(C,n,i,-t)=$2.300,55

R=5% cuatrimestral Þ R=5%:4 mensual Þ R=1,25% mensual Þ i=0,0125

 

Incógnita

C=?

 

Calculamos la cuota adelantada de esta renta de la siguiente forma:

 

 

 

 

Resolviendo obtenemos el valor de dicha cuota:

 

 

 

EL NÚMERO EN LA PERÍODOS DE LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON t<n

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Pasamos al primer miembro la cuota, 1+i, la tasa, la potencia “t” del binomio 1+i, se tiene:

 

 

          Pasando el -1 y sacando común denominador, queda:

 

 

          Ahora tomamos logaritmo en ambos miembros, o sea:

 

 

          Aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

 

 

          Y despejando el número de períodos se obtiene la fórmula deseada:

 

 

 

 

          Por ejemplo:

          ¿Durante qué tiempo se deben hacer los depósitos adelantados de $158,45 para que faltando 3 meses se obtenga una renta de $1.895,52; sabiendo que el banco otorga el 6% cuatrimestral de interés?

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

C=$158,45 adelantada

t=3 meses

S(C,n,i,-t)=$1.895,52

R=6% cuatrimestral Þ R=6%:4 mensual Þ R=1,5% mensual Þ i=0,015

 

Incógnita

n=?

 

Calculamos el número de períodos usando la fórmula demostrada últimamente, o sea:

 

 

Reemplazando, queda:

 

 

Resolviendo, se tiene la respuesta:

 

 

Esto significa que 11 cuotas son de $458,45 y una más de:

 

 

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON t<n

 

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

 

 

 

 

 

          Pasamos la potencia “t” del binomio 1+i al primer miembro y la renta al segundo, o sea:

 

 

          Ahora tomamos logaritmos en ambos miembros, queda:

 

 

          Aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

 

 

          Despejando la diferencia de tiempo se llega a la fórmula deseada:

 

 

 

 

          Por ejemplo:

          Se desea saber qué tiempo antes de la última cuota bimestral adelantada de $255,30 se debe valuar la renta para obtener $3.600; sabiendo que la institución financiera otorga el 24% anual de interés si los depósitos se hacen durante 2 años.

 

Datos

Capitalización: bimestral  y compuesta

C=$255,30 adelantada

S(C,n,i,-t)=$3.600

T=2 años Þ n=2x6 bimestres Þ n=12 bimestres

R=24% anual Þ R=24%:6 bimestral Þ R=4% bimestral Þ i=0,04

 

Incógnita

t=?

 

Calculamos la diferencia de tiempo con:

Reemplazando, queda:

 

 

Resolviendo, se tiene:

 

 

LAS RENTAS TEMPORARIAS CIERTAS ANTICIPADAS CON VALUACIÓN POSTERIOR A LA ÉPOCA DE FINALIZACIÓN DE LA MISMA (t>n)

 

 

          Por definición, las rentas anticipadas, son aquellas en donde la iniciación de la misma es anterior a la época de valuación.

          Ahora, esta renta se la debe estudiar con respecto a la diferencia de tiempo entre la valuación y la finalización de la renta.

 

DIFERENCIA DE TIEMPO (Definición)

En la renta anticipada, se llama diferencia de tiempo a los períodos existentes entre la época de valuación y la finalización de la renta y se la representa con la “t”.

 


          En este caso en particular, la valuación es posterior a la época de finalización de la renta y para estudiarla podemos hacer el siguiente diagrama:

 

 

 

          Esto significa que durante los “n” períodos se realizan depósitos o pagos hasta que finaliza la renta (hasta allí es una imposición), luego hay “t” períodos donde esta imposición se capitaliza hasta llegar a la época de valuación. Teniendo en cuenta este razonamiento se pueden obtener las fórmulas para la renta anticipada con valuación posterior a la época de finalización.

 

 

RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON VALUACIÓN DESPUÉS DE LA ÉPOCA DE FINALIZACIÓN DE PAGOS (t>n)

 

          De acuerdo al razonamiento realizado anteriormente, durante los “n” períodos se forma una imposición y que en este caso es vencida. Luego esa imposición se capitaliza por “t” períodos más, lo que significa matemáticamente que:

 

 

          Reemplazando por la fórmula de la imposición, se tiene la de la renta temporaria vencida con valuación después de la época de finalización:

 

 

 

          Donde S(C,n,i,t) es la renta temporaria anticipada vencida con cuota “C”, tasa “i”, “n” períodos, valuada en “t” períodos después de la finalización de la misma.

 

          Por ejemplo:

          Una persona deposita al final de cada mes $250 durante un año con el 3% bimestral de interés. Calcular cuál será el total obtenido si lo retira del depósito 4 meses después de haber pagado o depositado la última cuota.

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

C=$250 vencida

T=1 año Þ n=1x12 meses Þ n=12

R=3% bimestral Þ R=3%:2 mensual Þ R=1,5% mensual Þ i=0,015

t=4

 

 

Incógnita

S(C,n,i,t)=?

Para calcular esta renta hacemos:

 

 

Resolviendo:

 

LAS FORMULAS DERIVADAS DE LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON t>n

 

          Partiendo de la fórmula principal de la renta temporaria anticipada vencida con t>n, podemos despejar y obtener las fórmulas derivadas.-

 

LA CUOTA VENCIDA EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA CON t>n

 

          Partimos de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Hacemos un pasaje de factores y divisores, queda:

 

 

 

          Por ejemplo:

          Una persona deposita al final de cada bimestre y durante 2 años, una cierta suma de dinero, el cual después de 5 bimestres del último depósito obtiene una suma de $5.389,44. ¿Cuál es el valor de cada depósito si la entidad financiera otorga el 8% cuatrimestral de interés?

 

Datos

Capitalización: bimestral y compuesta

T=2 años Þ n=2x6 bimestres Þ n=12

t=5

S(C,n,i,t)=$5.389,44

R=8% cuatrimestral Þ R=8%:2 bimestralÞ R=4% bimestral Þ i=0,04

 

Incógnita

C=?

 

Para calcular la cuota en este problema, usamos la fórmula demostrada últimamente, o sea:

 

 

 


 

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON t>n

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

          Pasamos la cuota, la tasa y la potencia “t” del binomio 1+i, se tiene:

 

 

          Pasamos ahora el -1, sacamos común denominador, se tiene:

 

 

          Y tomando logaritmo en ambos miembros, queda:

 

 

          Y aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

 

 

 

 

          Ahora despejamos el número de períodos:

 

 

 

 

          Por ejemplo:

          Una persona deposita al final de cada mes $420. Una vez terminado los depósitos, retira un total de $3.256,44 después de 4 meses ¿Cuál es el valor de cada depósito si la institución financiera otorga el 25% anual de interés?

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

C=$420 vencida

S(C,n,i,t)=$3.256,44

t=4

R=25% anual Þ R=25%:12 mensual Þ R=2,08% mensual Þ i=0,0208

 

Incógnita

n=?

 

Para calcular el número de períodos, hacemos:

 

 

Reemplazando por los valores, tenemos:

 

Y resolviendo:

 

 

Esto significa que durante 6 meses las cuatas serán de $420, pero existe un período más donde la cuota será:

 

 

 

 

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON t>n

 

          Nuevamente, partimos de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Hacemos un pasaje de factores y divisores despejando la potencia “t” de 1+i, se tiene:

 

 

          Tomamos logaritmo en ambos miembros, o sea:

 

 

          Y aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

 

 

         Y despejando la diferencia de tiempo, llegamos a la fórmula deseada:

 

 

 

 

          Por ejemplo:

          Durante 2 años una persona deposito al final de cada mes $120  ¿Después de qué tiempo de haber hecho el último depósito, debe retirar el dinero si quiere tener $6.322,15, sabiendo que la entidad financiera otorga el 26% anual de interés?

 


 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

T=2 años Þ n=2x24 meses Þ n=48

C=$120 vencida

S(C,n,i,t)=$6.322,15

R=26% anual Þ R=26%:12 mensual Þ R=2,16% mensual Þ i=0,0216

 

Incógnita

t=?

Calculamos la diferencia de tiempo, o sea:

 

 

Reemplazamos y se tiene:

 

 

O sea que:

 

 

RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON VALUACIÓN POSTERIOR A LA ÉPOCA DE FINALIZACIÓN DE PAGOS (t>n)

 

          De acuerdo al razonamiento realizado anteriormente, durante los “n” períodos se forma una imposición y que en este caso es adelantada. Luego esa imposición se capitaliza por “t” períodos más, lo que significa matemáticamente que:

 

 

          Reemplazando la imposición, tenemos la fórmula deseada:

 

 

 

         Donde S’(C,n,i,t) es la renta temporaria anticipada adelantada con cuota “C”, tasa “i”, “n” períodos, valuada en “t” períodos después de la finalización de la misma.

 

          Por ejemplo:

          Una persona deposita al inicio de cada mes $250 durante un año con el 3% bimestral de interés. Calcular cuál será el total obtenido si lo retira del depósito 4 meses después de haber pagado o depositado la última cuota.

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

C=$250 adelantada

T=1 año Þ n=1x12 meses Þ n=12

R=3% bimestral Þ R=3%:2 mensual Þ R=1,5% mensual Þ i=0,015

t=4

Incógnita

S’(C,n,i,t)=?

 

Para calcular esta renta hacemos:

 

 

Resolviendo:

 

 

LAS FORMULAS DERIVADAS DE LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON t>n

 

          Partiendo de la fórmula principal de la renta anticipada adelantada con t>n, podemos despejar y obtener las fórmulas derivadas.-

 

LA CUOTA ADELANTADA EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA CON t>n

 

          Partimos de la fórmula principal, o sea:

 

 

 

          Hacemos un pasaje de factores y divisores y aplicamos producto de potencias de igual base, queda:

 

 

 

          Por ejemplo:

          Una persona deposita al inicio de cada bimestre y durante 2 años, una cierta suma de dinero, el cual después de 5 bimestres del último depósito obtiene una suma de $5.389,44. ¿Cuál es el valor de cada depósito si la entidad financiera otorga el 8% cuatrimestral de interés?

 

Datos

Capitalización: bimestral y compuesta

T=2 años Þ n=2x6 bimestres Þ n=12

t=5

S’(C,n,i,t)=$5.389,44

R=8% cuatrimestral Þ R=8%:2 bimestralÞ R=4% bimestral Þ i=0,04

 

Incógnita

C=?

 

Para calcular la cuota en este problema, usamos la fórmula demostrada últimamente, o sea:

 

 

 

 

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON t>n

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Pasamos la cuota, el binomio 1+i, la tasa y la potencia “t” del binomio 1+i y aplicamos potencia de otra potencia, se tiene:

 

 

          Pasamos ahora el -1 y sacamos común denominador, se llega a:

 

 

          Y tomando logaritmo en ambos miembros, queda:

 

 

          Y aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

 

 

          Ahora despejamos el número de períodos:

 

 

 

            Por ejemplo:

          Una persona deposita al inicio de cada mes $420. Una vez terminado los depósitos, retira un total de $3.256,44 después de 4 meses ¿Cuál es el valor de cada depósito si la institución financiera otorga el 25% anual de interés?

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

C=$420 adelantada

S’(C,n,i,t)=$3.256,44

t=4

R=25% anual Þ R=25%:12 mensual Þ R=2,08% mensual Þ i=0,0208

 

Incógnita

n=?

 

Para calcular el número de períodos, hacemos:

 

 

Reemplazando por los valores, tenemos:

 

Y resolviendo:

 

 

Esto significa que 6 cuotas serán de $420, una más de:

 

 

 

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON t>n

 

          Nuevamente, partimos de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Hacemos un pasaje de factores y divisores despejando la potencia “t” de 1+i, se tiene:

 

 

          Tomamos logaritmo en ambos miembros, o sea:

 

 

          Y aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

 

          Y despejando la diferencia de tiempo, llegamos a la fórmula deseada:

 

 

 

 

          Por ejemplo:

          Durante 2 años una persona deposito al inicio de cada mes $120  ¿Después de qué tiempo de haber hecho el último depósito, debe retirar el dinero si quiere tener $6.322,15, sabiendo que la entidad financiera otorga el 26% anual de interés?

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

T=2 años Þ n=2x24 meses Þ n=48

C=$120 adelantada

S’(C,n,i,t)=$6.322,15

R=26% anual Þ R=26%:12 mensual Þ R=2,16% mensual Þ i=0,0216

Incógnita

t=?

 

Calculamos la diferencia de tiempo, o sea:

 

 

Reemplazamos y se tiene:

 

 

O sea que:

 

 

RENTAS CIERTAS PERPETUAS ANTICIPADAS

 

           Por definición, las rentas anticipadas, son aquellas en donde la iniciación de las mismas es anterior a la época de valuación.

          Para las rentas ciertas anticipadas, existen tres casos diferentes:

 

Para estudiar esta renta analizamos la siguiente gráfica:

 

 

          Desde el momento de iniciación, se realizan depósitos por infinitos períodos, pero la valuación se hace en el período “t”, por lo tanto, desde la iniciación hasta la valuación existe una capitalización por esos “t” períodos

 

DIFERENCIA DE TIEMPO (Definición)

En la renta anticipada perpetua, se llama diferencia de tiempo a los períodos existentes entre la época de iniciación y la época de valuación y se la representa con la “t”.


 

 

LA RENTA CIERTA PERPETUA ANTICIPADA VENCIDA

        

          Demostramos esta renta partiendo de la idea que en el momento de valuación se inicia la renta, que luego se capitaliza en los “t” períodos, o sea:

 

          Al final del período t+1, la cuota se actualiza por un período, o sea:

 

 

 

          Al final del período t+2, la cuota se actualiza por dos períodos, o sea:

 

 

          Al final del período t+3, la cuota se actualiza por tres períodos, o sea:

 

 

          Así seguimos hasta el final del período t+n-1, donde la cuota se actualiza por n-1 períodos, o sea:

 

 

          Seguimos hasta el período t+n, donde la cuota se actualiza por n períodos, o sea:

 

 

          En el final del período t+n+1, la cuota se actualiza por n+1 períodos, o sea:

 

 

          Así seguimos por infinitos períodos, siendo la suma de estos capitales financieros la renta, la que denotando con S(C,¥,i), o sea:

 

 

          Y sacando factor común la cuota (C), queda:

 

 

 

          Teniendo en cuenta que cualquier serie geométrica decreciente de términos infinitos y de razón “q”, primer término “a1”, su suma está dado por:

 

          Lo que está en el corchete es una serie infinita decreciente de razón , cuya suma está dada por lo siguiente:

 

 

          Y aplicando las propiedades de los límites, se tiene:

 

 

 

          Ahora, como:

 

 

         

          Por lo que:

 

 

          Ahora sacamos común denominador 1+i, o sea:

 

 

          Ahora, cancelando 1 y -1 queda:

 

 

 

 

          Y simplificando el 1+i, se tiene la fórmula que permite calcular la renta perpetua anticipada vencida, o sea:

 

 

 

          Por ejemplo:

          Una persona deposita de por vida $120 al final de cada mes con una tasa del 5% trimestral de interés. Si los depósitos se valúan al 8º mes de haber iniciado los depósitos, ¿Cuál será la renta que obtendrá?

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

C=$120 vencida

R=5% trimestral Þ R=1,66% mensual Þ i=0,0166

t=8

 

Incógnita

S(C,¥,i)=?

 

Para calcular esta renta usamos la fórmula últimamente demostrada:

 

 

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA PERPETUA ANTICIPADA VENCIDA

 

          Para obtener las fórmulas derivadas, tenemos que despejarlas de la fórmula principal, o sea:

 

 

LA CUOTA VENCIDA EN LA RENTA PERPETUA ANTICIPADA

 

          Pasando la tasa y la potenci  “t” de 1+i, se tiene la fórmula para calcular la cuota vencida en la renta anticipada:

 

 

          Por ejemplo:

          Una persona desea saber cual será la cuota vencida mensual que tendrá que depositar si quiere obtener una renta de $7.532,55, valuada 10 meses después de la primera cuota y sabiendo que la entidad financiera otorga el 3% bimestral de interés.

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

S(C,¥,i)=$7.532,55

t=10 meses

R=3% bimestral Þ R=1,5% mensual Þ i=0,015

 

Incógnita

C=?

 

La cuota vencida que pide el problema se la calcula con la última fórmula demostrada, o sea:

 

 

 

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA PERPETUA ANTICIPADA VENCIDA

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Pasamos la cuota y la tasa al primer miembro, queda:

 

 

          Y tomando logaritmo en ambos miembros, se tiene:

 

 

          Ahora aplicamos las propiedades de los logaritmos, o sea:

 

 

          Despejando la diferencia de tiempo, queda la fórmula deseada:

 

 

 

          Por ejemplo:

          ¿Cuál será la cantidad de meses, desde la iniciación, que se debe valuar una renta de $7.520,79, sabiendo que los depósitos mensuales y vencidos de $140,10 y la institución financiera otorga el 5% cuatrimestral de interés?

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

S(C,¥,i)=$16.678,97

C=$140,10 vencida

R=5% cuatrimestral Þ R=5%:4 Þ R=1,25 Þ i=0,0125

 

Incógnita

t=?

 

Calculamos la diferencia de tiempo de la siguiente forma:

 

 

Resolviendo se tiene:

 

 

LA RENTA CIERTA PERPETUA ANTICIPADA ADELANTADA

 

          Para poder demostrar la fórmula recurriremos al siguiente gráfico:

 

 

          Demostramos esta renta partiendo de la idea que en el momento de valuación se inicia la renta, que luego se capitaliza en los “t” períodos, o sea:

 

          Al inicio del período t+1, la cuota no se actualiza, o sea:

 

 

          Al inicio del período t+2, la cuota se actualiza por un período, o sea:

 

 

          Al inicio del período t+3, la cuota se actualiza por dos períodos, o sea:

 

 

          Así seguimos hasta el inicio del período t+n-1, donde la cuota se actualiza por n-2 períodos, o sea:

 

 

          Seguimos hasta el inicio del período t+n, donde la cuota se actualiza por n-1 períodos, o sea:

 

 

          En el inicio del período t+n+1, la cuota se actualiza por n períodos, o sea:

 

 

          Así seguimos por infinitos períodos donde la suma de estos capitales financieros constituyen la renta, la que denotando con S’(C,¥,i), o sea:

 

 

          Y sacando factor común la cuota (C), queda:

 

 

 

          Teniendo en cuenta que cualquier serie geométrica decreciente de términos infinitos y de razón “q”, primer término “a1”, su suma está dado por:

 

 

          Lo que está en el corchete es una serie infinita decreciente de razón , cuya suma está dada por lo siguiente:

 

 

          Y aplicando las propiedades de los límites, se tiene:

 

 

 

          Ahora, como:

 

 

 

          Por lo que:

 

 

          Ahora sacamos común denominador 1+i, o sea:

 

 

          Ahora, cancelando 1 y -1 queda:

 

 

 

         Y resolviendo la fracción compleja, se tiene la fórmula que permite calcular la renta perpetua anticipada adelantada, o sea:

 

 

 

          Por ejemplo:

          Una persona deposita de por vida $120 al inicio de cada mes con una tasa del 5% trimestral de interés. Si los depósitos se valúan al 8º mes de haber iniciado los depósitos, ¿Cuál será la renta que obtendrá?

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

C=$120 adelantada

R=5% trimestral Þ R=1,66% mensual Þ i=0,0166

t=8

 

Incógnita

S(C,¥,i)=?

 

Para calcular esta renta usamos la fórmula últimamente demostrada:

 

 

Y resolviendo, se tiene:

 


 

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA PERPETUA ANTICIPADA ADELANTADA

 

          Para obtener las fórmulas derivadas, tenemos que despejarlas de la fórmula principal, o sea:

 

 

LA CUOTA ADELANTADA EN LA RENTA PERPETUA ANTICIPADA

 

          Pasando la tasa, la potencia “t” de 1+i y 1+i, se tiene la fórmula para calcular la cuota adelantada en la renta anticipada:

 

 

          Por ejemplo:

          Una persona desea saber cual será la cuota adelantada mensual que tendrá que depositar si quiere obtener una renta de $7.532,55, valuada 10 meses después de la primera cuota, sabiendo que la entidad financiera otorga el 3% bimestral de interés.

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

S’(C,¥,i)=$7.532,55

t=10 meses

R=3% bimestral Þ R=1,5% mensual Þ i=0,015

 

Incógnita

C=?

 

La cuota adelantada que pide el problema se la calcula con la última fórmula demostrada, o sea:

 

 

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA PERPETUA ANTICIPADA ADELANTADA

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Pasamos la cuota, 1+i y la tasa al primer miembro, queda:

 

          Y tomando logaritmo en ambos miembros, se tiene:

 

 


 

 

          Ahora aplicamos las propiedades de los logaritmos, o sea:

 

 

          Despejando la diferencia de tiempo, queda la fórmula deseada:

 

 

          Por ejemplo:

          ¿Cuál será la cantidad de meses, desde la iniciación, que se debe valuar una renta de $7.520,79, sabiendo que los depósitos son mensuales y adelantados de $140,10 y la institución financiera otorga el 5% cuatrimestral de interés?

 

Datos

Capitalización: mensual y compuesta

S’(C,¥,i)=$ 16.678,97

C=$140,10 adelantada

R=5% cuatrimestral Þ R=5%:4 Þ R=1,25 Þ i=0,0125

 

Incógnita

t=?

 

Calculamos la diferencia de tiempo de la siguiente forma:

 

O sea que:

 

Resolviendo se tiene: