INTERÉS

 

CONTENIDOS

Interés simple. Interés: Definición. Interés simple: Definición. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Los divisores fijos. Monto a Interés simple. Monto: Definición. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Los factores financieros.

Interés compuesto. Monto a interés compuesto. Deducción de la fórmula principal. Fórmulas derivadas. Comparación entre monto simple y monto compuesto. Los factores financieros. El interés compuesto. Fórmula principal del interés compuesto en base al capital inicial o de origen. Fórmulas derivadas. Fórmula principal del interés compuesto en base al monto. Fórmulas derivadas.

Las Formas de capitalización. Tasas proporcionales. Tasas efectivas. Tasas equivalentes. Capitalización continua. Fórmula principal del monto compuesto en una capitalización continua. Fórmulas derivadas. Incidencia de la inflación. Tasa de inflación. Tasa real. Generalización de la fórmula de ajuste.

 

 

INTERÉS SIMPLE

 

INTERÉS (Definición)

Se denomina interés al beneficio que recibe una de las partes por haber prestado o depositado un determinado capital durante un cierto tiempo y con una determinada tasa de interés.

 

INTERÉS SIMPLE (Definición)

Aquel interés que se calcula con una ley financiera simple, se denomina interés simple.

 

FÓRMULA PRINCIPAL DEL INTERÉS SIMPLE

 

          Supongamos que tenemos un capital (Co) que se presta o se deposita durante una determinada cantidad de períodos (n) con un tanto por ciento llamado razón (R), obteniéndose una ganancia (Is), con una capitalización simple. Para ello hacemos el siguiente razonamiento para un período:

El capital inicial equivale al 100%, evidentemente el interés equivale a la razón, o sea:

 

 

          Teniendo en cuenta que éstas magnitudes son directamente proporcionales y por una propiedad de las mismas, podemos hacer:

 

          Despejando Is, tenemos:

 

          Pero el cociente entre la razón y 100% se denomina tanto por uno o tasa y se lo denota con “i”, o sea que:

 

          Y reemplazando en la fórmula anterior, queda:

 

 

          Esta es la fórmula de la ganancia para un período; pero para todos los periodos, tenemos que multiplicar la expresión anterior por “n” (cantidad de períodos), o sea:

 

 

          Esta fórmula es la que utilizamos para calcular el interés simple con una tasa “i” durante un número de períodos “n”.-

 

          Por otro lado, sabemos que el tiempo (T) puede no estar expresado en la unidad de la capitalización que tiene la operación financiera; por ejemplo, si la capitalización es mensual y el tiempo está dado en años, entonces habrá una cierta unidad de tiempo (UT) para poder expresar el mismo en períodos de acuerdo a la capitalización.


 

 

          Observemos el siguiente ejemplo: expresar en meses tres años.-

          Sabemos que un año tiene 12 meses, por lo tanto:

 

                    Estas magnitudes son directamente proporcionales, por lo tanto:

 

 

          Despejando “n” queda:

 

         

          Que es lo mismo que:

 

          Ahora, si hacemos  y , queda:

 

          Con lo que se puede armar una nueva fórmula para el interés simple con esta última expresión, o sea que:

 

Por ejemplo:

          Determinar la ganancia que obtendrá una persona que deposita $5.263,50 durante un año y medio y con un interés del 25% anual y una capitalización mensual. Determinar también el dinero que tendrá al cabo del tiempo.

 

Datos

Capitalización mensual y simple

Co=$5.263,50

T=1,5 años

R=25% anual

 

Incógnitas

Is=?

Cn=?

  

Resolución

Como el tiempo está expresado en año y la capitalización es mensual, hacemos , entonces se tiene:


 

Pero como la razón es anual y la capitalización es mensual, también debemos trabajarla para hacerla mensual, entonces:

 

Entonces:

 

Pero la tasa es:

 

Usando la fórmula para calcular el interés simple, o sea:

 

 

Ahora, el monto está dado por:

 

 

FÓRMULAS DERIVADAS DEL INTERÉS SIMPLE

 

          Despejando de la fórmula de Interés simple, se pueden obtener otras fórmulas llamadas “fórmulas derivadas”

 

EL CAPITAL DE ORIGEN EN EL INTERÉS SIMPLE

 

          Teniendo en cuenta que:

 

          Pasamos i x n al primer miembro y queda:

 

 

          Con ésta fórmula se puede calcular el capital de origen, por ejemplo:

 

          ¿Qué cantidad de dinero debe prestar una persona para al cabo de 2 años le devuelvan con una ganancia de $320, aplicándole el 5% trimestral y la capitalización anual? ¿Cuál será el monto total que le devolverán?

 

Datos

Capitalización mensual y simple

Is=$320

R=5% trimestral Þ R=5:3 Þ R=1,67% mensual Þ i=0,0167

T=2 años Þ n=2x12 Þ n=24

 

Incógnitas

Co=?

Cn=?

 

Para resolver este problema usamos la fórmula demostrada últimamente, o sea:

 

Ahora, el monto es:

 

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL INTERÉS SIMPLE

 

          El período es la unidad de tiempo en el que se capitaliza o se actualiza un capital. Por ejemplo si el período es mensual, la capitalización se hará cada mes; si el período es bimestral, la capitalización se hará cada bimestre, etc.

 

          En el Interés simple, el número de períodos se representa con “n” y se la calcula despejándolo de la fórmula principal. Para ello partimos de:

 

 

          Despejamos “n” y queda:

 

          Con esta fórmula se puede calcular el número de períodos en el interés simple, por ejemplo:

          Determinar el tiempo que debe permanecer en depósito la suma de $5.500 para obtener una ganancia de $225,32, sabiendo que el banco otorga el 3% bimestral de interés y régimen simple de capitalización. Calcular también el valor futuro.

 

Datos

Co=$5.500

Is=$225,32

R=3% bimestral Þ R=1,5% mensual Þ i=0,015

 

Incógnitas

n=?

Cn=?

 

Para calcular el número de períodos se hace:

 

Ahora, el monto es:

 

 

 

LA RAZÓN EN EL INTERÉS SIMPLE

 

          Para determinar la razón en el interés simple, se parte de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Despejamos la tasa de ella:

 

 

          Ahora, como:

 

         

Por ejemplo:

          Calcular el tanto por ciento se le debe aplicar a un capital de $7.000 que colocado a 11 meses  da una ganancia de $1.200 con una capitalización mensual y simple. Calcular también el monto.

 

Datos

Capitalización: mensual y simple

Co=$7.000

T=11 meses Þ n=11

Is=$1.200

 

Incógnitas

R=?

Cn=?

 

Para calcular la razón, primero debemos calcular la tasa, entonces hacemos:

 

 

Ahora, la razón se calcula con:

 

 

Como se sabe, el monto es la suma del capital inicial y la ganancia obtenida, o sea:

 

 

LOS DIVISORES FIJOS

 

          En el interés simple se puede trabajar con divisores fijos (valores que no varían y que figuran como divisores), esto es siempre que la tasa no varíe. Es así que partimos de la fórmula principal del interés simple, teniendo en cuenta que el año comercial tiene 360 días, o sea:

 

 

          Si dividimos numerador y denominador por la tasa de interés “i” se tiene:

 

  

        Ahora, si al cociente del denominador lo llamamos D (divisor fijo), queda:

 

          Donde:

 

 

 

 

Lo que en definitiva concluimos que:

 

 

 

MONTO A INTERES SIMPLE

 

MONTO (definición)

Se llama monto o capital futuro, al capital final de la operación financiera, o sea la suma del capital prestado o depositado y la ganancia obtenida.

 

El monto a interés simple (Cn) es el que se obtiene con una capitalización simple.

 

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PRINCIPAL

 

          Teniendo en cuenta que el monto es:

 

          Y por otro lado que:

 

 

          Y reemplazando la segunda fórmula en la primera se tiene:

 

 

          Sacando factor común el capital de origen, queda:

 

 

          Que es esta la fórmula principal del monto a interés simple.

 

          Por ejemplo:

          ¿Cuál será el dinero que retirará una persona al cabo de 5 meses de plazo fijo si depositó $3.200 y la entidad financiera otorga el 5% mensual de interés y capitalización simple? ¿Cuál será la ganancia obtenida?

 

Datos

Capitalización: mensual y a interés simple

Co=$3.200

T=5 meses Þ n=5

R= 5% mensual Þ i=0,05

 

Incógnitas

Cn=?

Is=?

Para calcular el monto hacemos:

 

Ahora, el interés se calcula con:

 

 

 

FÓRMULAS DERIVADAS DEL MONTO A INTERÉS SIMPLE

 

 

          Para obtener las fórmulas derivadas del monto a interés simple debemos despejar cada elemento de la fórmula principal.

 

EL CAPITAL DE ORIGEN EN EL MONTO A INTERÉS SIMPLE

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

 

          Pasamos 1+i.n al primer miembro y queda:

 

 

          Con esta fórmula calculamos el capital de origen en el monto a interés simple, por ejemplo:

 

          Determinar el capital que prestó una persona si se le devuelve al cabo de 8 meses $1.800 aplicándole una capitalización mensual y a interés simple y el 2% mensual. Calcular también la ganancia obtenida.

 

Datos

Capitalización mensual y a interés simple

T=8 meses Þ n=8

Cn=$1.800

R=2% mensual Þ i=0,02

 

Incógnitas

Co=?

Is=?

 

Para calcular el capital de origen hacemos:

 

 

Ahora, el interés se calcula con:

 

 

 

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL MONTO A INTERÉS SIMPLE

 

          Partiendo de la fórmula principal, o sea:

 

    

          Pasamos el capital de origen al primer miembro, o sea:

 

         


 

          Y pasando el 1 restando al primer miembro, queda:

 

 

          Y sacando común denominador, se tiene:

 

 

          Y pasando la tasa queda:

 

 

          Con esta fórmula podemos calcular el número de períodos en el monto a interés simple, por ejemplo:

 

          ¿Cuál será el total de meses que debe ser prestado $3.000 para que sean devueltos $3.652 con el 25% anual de interés y capitalización mensual y a interés simple? ¿Y cuál será el dinero ganado por el organismo de préstamo?

 

Datos

Capitalización: mensual y a interés simple

Co=$3.000

R=25% anual Þ R=25:12 Þ R= 2,08% mensual Þ i=0,0208

Cn=$3.652

 

Incógnitas

n=?

Is=?

 

Para calcular el número de períodos hacemos:

 

 

Para calcular el interés simple se hace:

 

 

 

LA RAZÓN EN EL MONTO A INTERÉS SIMPLE

 

          Para obtener una fórmula para calcular la razón partimos de la expresión (1) y despejamos la tasa, o sea:

 

 

          Entonces:

 

 

 

          Pero como se sabe, la razón es el producto de la tasa y ciento por ciento, entonces:

 

 

          Por ejemplo:

 

          Una persona depositó hace 2 años en plazo fijo $20.000 y retira en estos momentos un total de $24.352. Si se sabe que la entidad bancaria capitalizó en forma mensual y a interés simple, ¿Cuál será el tanto por ciento aplicado y la ganancia obtenida?

 

Datos

Capitalización: mensual y a interés simple

T=2 años Þ n=2x12 (meses) Þ  n=24 meses

Co=$20.000

Cn=$24.352

 

Incógnitas

R=?

Is=?

 

Para calcular la razón debemos primero calcular la tasa, o sea:

 

 

Ahora la razón es:

 

 

LOS FACTORES FINANCIEROS

 

          Teniendo en cuenta que:

 

      y        

 

          Observamos que el factor 1+i.n en el primer caso multiplica al capital inicial y nos lleva a obtener el capital futuro o monto, por lo tanto es un FACTOR DE CAPITALIZACIÓN.-

 

          Para el segundo caso  multiplica al monto y nos trae al capital inicial, por lo tanto es un FACTOR DE ACTUALIZACIÓN.-

 

 

 

INTERÉS COMPUESTO

 

MONTO A INTERÉS COMPUESTO

 

MONTO (definición)

Se llama monto o capital futuro, al capital final de la operación financiera, o sea la suma del capital prestado o depositado y la ganancia obtenida.

 

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PRINCIPAL

 

          Sabemos que en la capitalización simple se calcula el monto con:

 

 

          Ahora, si calculamos este monto para un período, o sea n=1 se tiene:

 

 

          Pero para la capitalización a interés compuesto, la misma para un período se calcula en base al monto del período anterior; quiere decir que el capital inicial de un período es el monto del período anterior, lo que significa que si partimos de un capital inicial Co podemos hacer el siguiente cuadro denotando al monto compuesto con Cn’:

 

Período

Capital inicial

Monto compuesto

1

Co

2

3

4

………

……………………

……………………………………………

………

……………………

……………………………………………

………

……………………

……………………………………………

n-1

n

 

          Haciendo un análisis de este cuadro se puede explicar que:

 

Período 1

          Para el período 1 tenemos como capital inicial a Co y calculamos el monto, o sea:

 

Período 2

          Para el período 2 se tiene como capital inicial al monto del período 1, o sea:

 

 

          Y calculamos el monto de éste período que es el producto del capital inicial y (1+i), o sea:

 

          Esto último es aplicando producto de potencias de igual base.

 

Período 3

          En este período el capital inicial es el monto del período 2, o sea:

 

 

          Y el monto es:

 

Período 4

          Igual razonamiento hacemos para este período, donde el capital inicial es:

 

 

          Y el monto es:

 

Período n-1

          Con el mismo razonamiento llegamos hasta el penúltimo período, donde el capital inicial es el monto del período n-2, o sea:

 

 

          Y el monto es:

 

 

Período n

          Llegado al último período, el capital inicial es el monto del período n-1, o sea:

 

 

          Y el monto es:

 

          Siendo esta la fórmula para calcular el monto con capitalización compuesta, o sea:

 

          Por ejemplo:

          Una persona deposita en plazo fijo $5.800 que serán retirados a los 60 días, otorgando el banco el 26% anual de interés con una capitalización diaria y compuesta. Se pide calcular el total de dinero retirado vencido el plazo y la ganancia obtenida utilizándose año comercial.

 

Datos

Capitalización diaria y a interés compuesto

Co=$5.800

T=60 días Þ n=60

R=26% anual Þ R=26%:360 Þ R=0,07% diario Þ i=0,0007

 

Incógnitas

Cn’=?

Ic=?

 

Para calcular el monto hacemos:

Para calcular el interés se hace:

 

 

 

FÓRMULAS DERIVADAS DEL MONTO A INTERÉS COMPUESTO

 

          Las fórmulas derivadas del monto a interés compuesto se las obtiene despejándolas de la fórmula principal.

 

EL CAPITAL DE ORIGEN EN EL MONTO A INTERÉS COMPUESTO

 

          Teniendo en cuenta la fórmula principal para el cálculo del monto con el régimen de interés compuesto, o sea:

 

 

          Despejamos el capital inicial y se tiene:

 

 

          Por ejemplo:

          Un ahorrista retira después de  6 meses de plazo fijo, un total $21.500 habiéndole otorgado el banco el 25% anual de interés. Calcular el dinero que deposito y la ganancia obtenida si se le aplicó una capitalización mensual y a interés compuesta.

 

Datos

Capitalización: mensual y a interés compuesta

T=6 meses Þ n=6

Cn’=$21.500

R=25% anual Þ R=25%:12 Þ R=2,08% mensual Þ i=0,0208

 

Incógnitas

Co=?

Ic=?

 

Para calcular el capital inicial hacemos:

 

 

Ahora, el interés compuesto se calcula con:

 

 

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL MONTO A INTERÉS COMPUESTO

 

          Para obtener el número de períodos en el monto a interés compuesto debemos partir de la fórmula principal y despejar “n”, o sea:

 

 

 

          Pasamos el capital inicial al primer miembro, se tiene:

 

 

          Y tomamos logaritmo en ambos miembros, o sea:

 

 

          Aplicamos las propiedades de los logaritmos, queda:

 

 

          Y despejamos el número de períodos y se llega a la fórmula deseada, o sea:

 

 

          Así por ejemplo:

          Calcular cuántos meses permaneció un capital de $10.000 ganando el 1,5% mensual de interés  si produjo un monto de $15.358,21, si la capitalización utilizada es a interés compuesto. Calcular también la ganancia obtenida.

 

Datos

Capitalización: mensual y a interés compuesto

Co=$10.000

R=1,5% mensual Þ i=0,015

Cn’=$15.358,21

 

Incógnitas

n=?

Ic=?

 

Para calcular el número de períodos hacemos:

 

 

 

 

Para calcular el interés compuesto, se hace:

 

 

LA TASA Y LA RAZÓN EN EL MONTO A INTERES COMPUESTO

 

          De igual manera que en la anterior, partiendo de la fórmula de monto a interés compuesto, podemos despejar la tasa y luego calcular la razón, o sea:

 

 

 

          Ahora pasamos el capital inicial al primer miembro, o sea:

          Pasando el exponente al primer miembro, queda:

 

 

          Y despejando la tasa llegamos a la fórmula para su cálculo, o sea:

 

 

          Pero como se sabe que la razón es:

 

 

          Que es la forma de calcular la razón.

 

          Por ejemplo:

          Un inversionista coloca $30.000 a plazo fijo durante 25 meses y retira un total de $52.387 al vencimiento. Se pide calcular el tanto por ciento mensual que le otorgó el banco y la ganancia obtenida por el inversionista si se le aplica una capitalización compuesta

 

Datos

Capitalización: mensual y a interés compuesto

Co=$30.000

T=25 meses Þ n=25

Cn’=$52.387

 

Incógnitas

R=?

Ic=?

 

Para calcular la razón calculamos primero la tasa, o sea:

 

 

Ahora la razón es:

 

 

 

COMPARACION ENTRE EL MONTO SIMPLE Y EL MONTO COMPUESTO

 

          Supongamos el siguiente ejemplo:

 

          Se coloca un capital de $10.000 con el 20% anual de interés. Se pide calcular el monto simple y compuesto para los valores del número de períodos de 0; 0,5; 1 y 2.-

 

 

Datos

Co=$10.000

R=20% anual Þ i=0,2

 

 

Calculamos los distintos montos con n=0

 

Para el monto simple

 

 

Para el monto compuesto

 

 

Como conclusión se tiene que Cn=Cn’ si n=0

 

Se calculamos los distintos montos con n=0,5

 

Para el monto simple

 

 

Para el monto compuesto

 

 

Como conclusión se tiene que Cn>Cn’ si n=0,5

 

Calculamos los distintos montos con n=1

 

Para el monto simple

 

 

Para el monto compuesto

 

 

Como conclusión se tiene que Cn=Cn’ si n=1

 

Calculamos los distintos montos con n=2

 

Para el monto simple

 

 

 

 

Para el monto compuesto

 

 

Como conclusión se tiene que Cn<Cn’ si n=2

 

 

           Si trabajamos desde el punto de vista gráfico, despreciando el capital inicial, o sea  haciendo:

 

 

          Donde la primera es una función lineal con variable “n” y la segunda una función exponencial con la misma variable. Las gráficas son:

 

 

          Por supuesto, la recta es la gráfica del monto simple y la curva corresponde al monto compuesto y si observamos, los puntos de corte son (0; 1) y (1; 1,2) que es justamente donde los montos son iguales de acuerdo al análisis anterior; pero entre 0 y 1 de “n” los valores de la función exponencial son menores que los de la lineal; pero a partir de n>1  los valores de la función exponencial son mayores que los de la lineal.

         

          Hecho estos análisis, podemos concluir que:

 

 

  

 

LOS FACTORES FINANCIEROS

 

          De acuerdo a lo estudiado, sabemos que:

a)     Las variaciones hacia el futuro son las que determinan cuanto valdrá el dinero dentro de un cierto tiempo y se conoce con el nombre de capitalización. Así, tenemos la fórmula de monto compuesto donde el capital original o inicial se transforma en el capital final o monto, o sea:

 

             Lo que en definitiva decimos que mediante el factor:

 

 

El capital inicial se transforma en el capital final o monto, por eso decimos que capitalizó, lo que significa que este factor financiero es un factor de capitalización.

 

b)    Las variaciones hacia el presente son las que determinan cuanto vale ahora una cantidad de dinero del cual se dispondrá en el futuro. Así tenemos la fórmula del capital inicial en el monto a interés compuesto, o sea:

 

 

Lo que en definitiva decimos que mediante el factor:

 

 

 

el capital final o monto se transformó en capital inicial o de origen, por eso decimos que se actualizó, lo que significa que este factor financiero es un factor de actualización.